# 49. Математика костей


[![](/images/yt_rtg_49_dice_math.webp)](https://www.youtube.com/watch?v=YDjD0Gjtgik)

**Видео:** [Dice Math](https://www.youtube.com/watch?v=YDjD0Gjtgik) · 25:59

> [!quote]- Оригинал (English)
> Hey everybody, Matt Colville here. We just did two videos on undead, so let's use undead as our running example in this video.
>
> Let's imagine I had a group of first level player characters. I wanted to throw some undead at them. I choose ghouls, because I think ghouls are an interesting low level bad guy and I can throw a few of them at the players. Ghouls have an armor class of 12. How likely are my players to hit these ghouls? That's what we're gonna talk about in this video. We're gonna talk about the math of Dungeons and Dragons.
>
> And it's gonna be a short video, because I only want to give you enough information, I don't want to overwhelm a brand new player. This is gonna be super obvious stuff for most of you, but if you are a brand new player, if you're a new dungeon master and you're looking at this and you feel overwhelmed by the math — I can't completely solve that problem. I mean, if you have math phobia, there's only so much I can do about that, my powers are limited. But I can at least demystify the math a little bit and give you a little bit more confidence, so that you feel comfortable making changes on the fly.
>
> So how likely are my players to hit these ghouls? Well, there's two ways to go about figuring this out. One is to just ask my players what their bonuses to hit are and then do the math manually, but that's a pain in the butt, would take a long time. So instead I'm just gonna do it in my head. And I can tell in my head, without having to write anything down, that my players have about a seventy percent chance to hit one of these ghouls.
>
> How do I know that? I know they have a 70% chance to hit one of these ghouls because I know how they generated their stats. They either used the 4d6-take-the-highest-three method and then placed them in the order they want, or they took the list of numbers from the Player's Handbook and put them in the order they want. But in either instance, I can count on them having, let's say, a 15 in their highest stat.
>
> In other words, we can assume the fighter is attacking with their Strength, the rogue is attacking with their Dexterity, the wizard — if they are going to make an attack roll for some reason — is going to be attacking with their Intelligence. And if we assume that they picked a mathematically advantageous species, that means they're gonna put a +2 in that stat, which means they're gonna go from a 15 — let's use the fighter as an example. The fighter is gonna put their 15 in their high stat, in their Strength. They're gonna pick a species that gives them +2 to their Strength. That's gonna get them to 17. A 17 is a +3.
>
> They're also proficient in whatever it is they're trying to do. That's another plus 2. That's the mysterious plus 2 — where does it come from in all these math equations? It comes from: you were doing something you know how to do, you get your proficiency bonus, which starts off at +2. It does go up over time, but we are assuming this is a first level party.
>
> Three plus two is five, which means when the players are rolling to hit, they're gonna roll a 20-sided die — and this is important, this is the engine that drives all the math in this game — they're gonna roll a 20-sided die and they're gonna add five to it, and they have to beat a 12, because that's the armor class of a ghoul. Which means they have to roll a seven. They have to roll a seven to hit a ghoul. Seven or higher on a 20-sided die is a 70% chance to hit, which is quite high, by the way.
>
> So you can see, out of the gate I did a little bit of math in my head and came up with an accurate result. How likely are the players to hit these ghouls? Actually, they are very likely to hit them.
>
> Already I have used a lot of terminology and a lot of math that I don't want to assume you know. So for a lot of people this is gonna be super obvious and they're gonna check out of this video already, because they're gonna feel like "well, I know all this stuff." That's fantastic. This video is not for you. It's for new dungeon masters who really know nothing about math.
>
> So when I say my players have about a 70% chance to hit this ghoul, where am I getting that number from? Well, it starts with the d20. The d20 has 20 sides on it, which means any given side — let's imagine you picked a specific number, seven. What are the odds of rolling exactly seven on a 20-sided die? 5%. How did I arrive at that number? Let's figure it out. Well, because "percent" means "per hundred." If I rolled this die a hundred times, it would be reasonable to bet that the die would come up exactly seven about five times.
>
> Everybody likes rolling a crit, a natural 20 we call it. We mean "natural" as opposed to "unmodified," right? And that's something that happens all the time when we play: someone will say the number they rolled when you need to know their result, and sometimes someone will say the result and you think they just told you the number they rolled. That's why we use the term natural. This is a natural 20.
>
> What are the odds of rolling a natural 20? 5 percent. One in twenty. That means if I roll the die a hundred times, about five times I will roll exactly 20. We players ascribe a lot of meaning to this number and this number, but the die doesn't know the difference between them. Technically there is no difference, as far as the die is concerned, between rolling this as opposed to rolling this. As far as the die's concerned, they're all the same. They each are equally likely to come up, they each have a 5% chance of coming up.
>
> But the math in D&D is based on target numbers. If I tell you that this ghoul has a 12 armor class and you have, you know, plus 5 to hit, for instance, and you figure out, you do the math in your head, you're like "I need to roll a 7 to beat it" — it's technically 7 or higher. That means you have this whole spread of numbers, from 7 all the way over to 20, that will result in you hitting. So we're counting all of these. Each of those is 5%. So if you did the math in your head, you'd go 5, 10, 15, 20, 25… and you'd get to 70%. That's how I know my players have about a 70% chance to hit this ghoul.
>
> Let's imagine I want to make this ghoul harder to hit. I could give it armor, for instance. I could raise its Dexterity. Or I could just say it has thicker than normal natural hide. Using those methods I could get its armor class from 12 to whatever number I wanted. Well, what number do I want to get it to? This is how I think as a dungeon master. I don't just think "well, I want this ghoul to be harder to hit, I will give it plus one to its armor class." That would make it harder to hit — that is technically true. But how big an impact is that one difference going to make?
>
> Let's talk about that. If you've been paying attention, you know that if I increase the ghoul's armor class from 12 to 13, I have made it 5% less likely that my players will hit. How much of a difference is that 5%? It's not a lot. But I think you can count on, in a first level party in one battle against your AC 13 super ghoul, it will come up maybe once. One guy, one attack roll in the entire battle.
>
> How did I arrive at that conclusion? Well, a given battle lasts between 5 and 6 rounds, and if you have about 4 or 5 players, that means you're looking at about roughly 20 attack rolls per battle. Obviously that number is gonna vary wildly between one battle and another, one group and another, it makes a lot of assumptions. But if we have adjusted the armor class by one, if we've made it 5% harder to hit, and there's twenty 5-percents on this die, that means you'd have to roll this die 20 times in order for there to be one instance where I would have hit the AC 12 ghoul but I missed the AC 13 ghoul.
>
> Because we're dealing with a 20-sided die, we are constantly dealing in five percents, and that's, I think, useful for us, because dealing in fives, multiplying by fives, is relatively easy.
>
> If your players are only fighting one ghoul, then they're not gonna get 20 opportunities to attack that thing, and so you shouldn't expect to see that one point difference in armor class really come up. But once you've got four or five ghouls in the battle, now you've made it so that your players are probably going to attack about 20 times over the course of this encounter, and in that process there will be, on average, one die roll that would have hit your AC 12 ghoul but misses your AC 13 ghoul.
>
> So me as a dungeon master, if I want my ghouls to be tougher, I'm not going to give them just plus one AC, because I don't think it's going to come up that often. Giving them plus two to their armor class, taking it from 12 to 14 — and now, instead of it being 70% likely that the players are going to hit, now it is 60% likely that they're going to hit. And now we're getting close to 50%. 50% is hitting half the time. One out of every 10 attacks that would have hit my AC 12 ghoul are going to miss my AC 14 ghoul, and now at that point I think we're definitely going to see that come up in the course of one given battle.
>
> So as far as ghouls are concerned: increasing their armor class from 12 to 13, not really gonna make a difference. 12 to 14, now we're gonna start to see a difference.
>
> But that's all predicated on a ghoul's armor class. A ghoul only has an armor class of 12. What about something else? What about something like a bugbear chieftain? A bugbear chieftain has an armor class of 17. What are the odds of you hitting this AC 17 bugbear?
>
> Well, let's imagine you had no bonus to hit. Let's imagine you had a 10 Strength and you were using a weapon that you were not proficient with. You have to roll a 20-sided die and have to beat AC 17. There's a little bit of — it's misleading, I think. There's a tendency, when we first start playing, to do the math wrong in our heads, because we naturally want to subtract 17 from 20, and that leaves us with 3. 3 times 5 — 5% chance for each number — is 15. That would mean a 15% chance to hit our bugbear.
>
> No. Because we win if we equal 17. So we have to count the 17 when we're doing the math. So we don't subtract 17 from 20, we start at 17 and count: 17, 18, 19, 20. There's actually — 5, 10, 15, 20 — a 20 percent chance to hit our bugbear with an unmodified roll.
>
> Your players probably aren't going to be using unmodified rolls. They're probably going to be +5 to hit. +5 to hit is a +25 percent chance, which means now they've got a 45 percent chance to hit. Right? I haven't even really figured out what the target number is in my head. I've just taken the 20% that they need from an unmodified roll — 17, 18, 19, 20, that's 5, 10, 15, 20% — and I've added their plus 5 to hit on their die roll: 5, 10, 15, 20, 25. 25 and 20 is 45%. They have a 45 percent chance to hit.
>
> 45 percent chance to hit is less than 50 percent, which means they're going to be missing most of the time. Here's what that means. I just want to help you internalize this. Even though it may seem like a 45 percent chance to hit is still pretty beefy, still pretty meaty, and not that far away from a 60 percent chance to hit — 45 percent chance to hit does mean your players are going to be missing most of the time. A 45 percent chance of hitting means a 55 percent chance of missing, and 55 percent is more than half.
>
> So that is something to keep in mind when you're dealing with translating the math of D&D into player psychology. Players don't like to miss. It would be better to have many easy-to-hit monsters than few hard-to-hit monsters, because even though the math might work out the same, your players' experience is going to be very different.
>
> In one scenario, many easy-to-hit monsters, the players are going to be hitting all the time and they're gonna feel heroic. The other scenario, a few hard-to-hit monsters, the players are going to be missing all the time. It's gonna be really frustrating, especially if you've got five or six or seven players sitting around the table and the players have to wait maybe as much as twenty minutes between taking turns, and they roll one twenty-sided die and they miss, and then they're done, and their entire turn took 30 seconds, and now they're really frustrated.
>
> So that's the danger zone. The danger zone is between, I would say, a fifty five percent chance to hit and a 45 percent chance — you're in that threshold of "I'm now going to be missing half or more of the time."
>
> And there is a psychology here. Taking your AC 17 bugbear and saying, gosh, 45 percent chance of hitting to me still sounds like a lot, let's beef him up to 18 armor class — now I only have a 40% chance of hitting, and that 5% difference between 45 and 40 is gonna make the players feel even more frustrated. Mathematically it is linear, but psychologically it is not.
>
> This is something you learn as a game designer, especially in video games, where your game is live and people can complain about it and you better patch it quick: even if your telemetry is telling you these characters are all equally useful, if the players conclude that that is not the case — you don't get to ship a copy of Matt Colville with every game to sit there on the couch next to the player and explain how clever you are and how dumb they are, and that actually they're all equally likely. You have to deal with the players' psychology, not your math.
>
> That's why I am far less likely to give, for instance, our bugbear chieftain an 18 armor class as opposed to his normal 17, than I am a ghoul — a ghoul, because he's got a 12 armor class, because the players are 70% likely to hit him. Going from 70 percent to 65 percent to 60% — 60% is still most of the time. But 55 percent, 50%, now we're getting into "players getting frustrated" territory.
>
> Hopefully this is useful to new players just starting out. We are trying to figure out: how likely are my players to hit, and what kind of difference will it make if I change this monster's armor class?
>
> You can rely on your players having a +5 to hit. They may have more, and they will eventually get more as their stats go up, as their proficiency bonus goes up, as you award magic items. But +5 to hit against any given armor class is the distance from that armor class to 20, including that armor class. So for a ghoul, right, with an armor class of 12 — you go 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, that's 9. The range of 9. 9 times 5 is 45. Plus the plus 5 the players get to their die roll, which is 25. 25 and 45 is how you get to a 70% chance to hit.
>
> And I guarantee you, there are people watching this right now who are like "duh." But I guarantee you there are people watching this right now who are like "okay, you lost me." And this is the kind of thing where doing it over and over again actually will result in understanding, and you'll start to live your life behind the screen in five percent increments. Like anything else in life, when we sit down and start to do it, it will be tricky and it'll take a little bit of work and thought. But once you start thinking in terms of the distance on the number line — which is how we should be living our lives — the distance between the armor class and 20, including the armor class, that's one percentage, and then we add it to our players' to-hit bonus, and that's how we know what are the odds of them actually hitting.
>
> Obviously another way of doing it is starting with the armor class. Armor class of 12, they're plus five to hit, so subtract five from that, you get to seven. Seven to twenty is a 70% chance of hitting. So there's a couple of different ways to skin this cat. I don't know — fluffy cat, why would anyone skin my tiny cat? No, I love — done. Pretty cool.
>
> Those are the two ways to calculate how likely your players are to hit. You start with their attack bonus, which you can assume is going to be plus five at first level, and you can either subtract that from the monster's armor class and then measure the difference between the result and 20, multiply that by five, that's your percentage to hit. Or you can just add up percentages. And these are things I can do on the fly because I've done this a million times. So the beginning of this process is some understanding, and then a lot of practice.
>
> So what does it mean to give your players a +1 magic item? Well, it means they're 5% more likely to hit. It really doesn't matter what the target number is — your bugbear with a 17 armor class or your ghoul with a 12 armor class, in both instances. And also it doesn't matter what level your players are or what their attack bonus is. Maybe some of them are plus 5 to hit, maybe some of them are plus 7. In both instances, giving your players a plus-one longsword means anyone who's using it is 5 percent more likely to hit it. Which, again, is not going to come up that often — a plus 1 will maybe come up once per night.
>
> The problem is that your players have lots of ways to get bonuses, and they all add up. So that's one of the reasons the game does not recommend you give your players a plus-one weapon until they're about fifth level, for instance.
>
> One of the easiest ways for my players to get a bonus to hit — and in fact this is something I'll probably change — is I play with the optional rule in the Dungeon Master's Guide that flanking awards advantage. I play a highly casual game, but I think flanking granting advantage is too much of a bonus, and so I'm going to switch it from advantage to +2 to hit.
>
> And let's talk about why. Advantage, as you probably know, means you're gonna roll two 20-sided dice and you're gonna take the highest one and use that as your attack roll. But what does that mean mathematically? Well, you may be surprised to learn that mathematically, rolling two 20-sided dice and taking the highest instead of one means, on average, you're plus 5 more to hit.
>
> If we assume your players are attacking with the stat that is their highest stat, and that they're proficient with the weapon, they've got plus 5 coming out of the gate. And then you give them advantage — that's another plus 5. They're now plus ten to hit, basically, which means they would be hitting an armor class of twenty fifty percent of the time. That's crazy, right?
>
> It's essentially — I look at it this way: giving your players advantage on the attack roll guarantees they're going to hit. And I say that even though there'll be people in the doobly-doo who'll be like "oh, it's not a guarantee." And they're correct, it's not. But I think of it as being guaranteed because armor class does not come in every flavor. Your players are not going to be fighting creatures with an armor class of three or an armor class of six. They're going to be fighting bad guys that have mostly armor classes between 13 and 17. And at that point, 13 to 17, starting off at +5 to hit, giving them advantage, which is another +5 — that's like plus 10 to hit. If the armor class is 15 and they only need to roll 5, they're gonna be hitting 75% of the time.
>
> Now, an 80% chance to hit is not the same as a hundred percent chance to hit. This is the lesson everyone paying attention to 538, Nate Silver's forecast of the last election, learned: that saying that this candidate has an 80% chance of winning, or in fact a 70% chance of winning, means they still have a 30% chance of losing. That's not how we think. We don't think that way. When we hear that this candidate has a 70% chance of winning, we think "oh, it's in the bag." For our purposes though, as dungeon masters, granting your players advantage is guaranteeing — asterisk, not a guarantee — that they're going to hit.
>
> And there's something else with advantage that I discovered kind of bugs me a little bit. On the die, this number is no different than this number or this number. But in D&D, this number is totally different than the others. Because if this five percent chance — again, which is the same five percent chance as this or this — if this five percent chance comes up, your players get to roll their damage twice. And if they have advantage, there's double the odds that they're going to get a twenty. Instead of it being five percent, it's a 10 percent chance.
>
> Now, if you consider the fact that they're getting advantage from flanking, which means there's two characters who are on opposite sides of the bad guy, which prevents the bad guy from being able to be in two places at once and defend against both of them — now you've got, instead of two dice each trying to get a 5% chance, we've got four dice each trying to get a 5% chance. You've doubled it. It is now much more likely that your players are gonna start getting critical hits once they start flanking, if you grant them advantage from flanking.
>
> Which is why I think in my next game, at least when we start, we're gonna begin with flanking just giving you plus two, which is how it used to work in, I think, third and fourth edition D&D. Plus two is just plus 10%, and that is a meaningful difference — enough for the players to seek out and want to get into dangerous situations just so they can flank. And that makes me happy, that makes the game more tactical, it makes strategy more important. But it's not such an overwhelming bonus like +5 from advantage.
>
> Alternatively, another thing you could do — and I might try this — is say advantage gives you an extra d4 on top of your d20, because mathematically that's gonna come out at about ten percent on average.
>
> So, thinking about the idea of allowing my players, if they have advantage, to just add a d4 to their die roll — I want to know, how is that going to change the math? Well, I can figure that out, and this happens a lot in D&D: if I figure out what is the average result on any given die. What is the average result on a d4? It's two and a half. Which again, if you are not a math person, it may not be obvious why that should be, but let's figure it out.
>
> Using a d4 in our example is useful to us because we can easily plot it here in this video. We can put a 1 over here, we can put a 4 over here, and we put the other numbers in between, and we want to know what is the average result on a d4. Well, what is the number in the middle? And again, there will be people in the doobly-doo talking about mean and median and mode, and that's fine — if you want to go read that stuff and look into it more, I encourage you to do so. But just for the purposes of the new player that knows nothing about math, who just wants to know what is the average result on a d10: you're looking for the number in the middle.
>
> And all the dice all have an even number of facings, which means there is no number in the middle. If instead of a d4 we had a d5 — which some people make, for games that I don't play — suddenly now we do have a number in the middle. The 3 is in the middle: we have 2 numbers to the left of the 3 and 2 numbers to the right of the 3. So we can confidently say that the average result on a five-sided die is 3.
>
> We don't have a five-sided die, we have a four-sided die, and there is no number in the middle. So we're just gonna split the number line in half and put a number here. That number would be 2 and a half.
>
> Obviously, I think using the number line to understand this is more intuitive. But also you could just add up the facings and divide by the number of facings, which is how they teach you to do it at school. 4 plus 3 plus 2 plus 1, adding up all the facings, gets us 10, divided by the number of facings, which is 4. 10 divided by 4 is 2 and a half.
>
> So the average result on a d4 is 2 and a half, which translates to 12 and a half percent on average, if we're giving our players an extra d4 on top of their d20 to hit because of advantage from flanking. Which is really just — it's an example I used in order to talk about how to figure out averages on dice. But the same process works for a d10. What's the average result on a d10? It's 5 and a half. What's the average result — this is important — on a d20? It's 10 and a half. It's always half the value, so 20 divided by 2 is 10, plus a half: 10 and a half.
>
> This is important to us because, for instance, in D&D we have to make death saving throws, and the target number for a death saving throw is 10. And what are the odds of us beating a 10? Without even calculating percentages, you know that you are likely to make it, because the average result on a 20-sided die is 10 and a half, and the number you're trying to beat is a 10. So without even adding up all the 5%s, you know that you are likely to make — not by much — you are likely to make your death saving throw in any given round. It's a little better than 50%. If you do the math it turns out to be 55%, because you're counting all the numbers from 10 to 20, including the ten.
>
> Intuitively, if you're doing the math and you're counting five percents, you're always gonna go "well, I've got a 50% chance," because twenty minus ten is ten, times five is fifty. But then you'll go back and go, wait, I am including the number ten, because I still win if I hit a ten. So technically there's 11 numbers, and eleven times five is 55%.
>
> Again, I guarantee you — this may be very obvious to many of you, but there was a time when it was not obvious to me, and playing D&D helped make it obvious. So I guarantee you there are some people watching this that I have already lost. I lost them a long time ago. But maybe you watch the video more than once. I'm sure there are other videos out there on this subject.
>
> But let's talk about what we learned, because I actually think we covered quite a lot in this video. We now know how to figure out what is the average result on any given die. We talked about what does granting advantage do mathematically. We talked about what does giving a player a +1 weapon do mathematically. We talked about how to figure out how likely you are to hit without actually going and figuring out what your players' stats are. And how much does changing a monster's armor class change the likelihood to hit — what is the difference in a plus one, what's the difference between being, you know, 55% likely and 45% likely. So to my way of thinking, we've covered a lot of ground.
>
> I'm not a math teacher, I have no idea whether or not this lesson was useful, and it is my hope that if you got lost along the way, I encourage you to comment in the doobly-doo and we will all do our best to shepherd you along. Because playing D&D is one of the things that makes you better at math. You start learning what does it really mean to only have a 15% chance of hitting something. It feels very unlikely sometimes, but then you will discover it does come up if you roll enough.
>
> And there are real-world applications here. You will discover, when everyone else is acting like something that has a 70% likelihood of succeeding is a sure thing, you will be focused on that 30%, and you'll have a very real understanding. Humans do not come built-in with an understanding of odds. We are incredibly poor when it comes to judging odds and risk. That is not something that our evolutionary heritage has gifted us with. But if you play a lot of D&D you will develop a sense for that stuff, and it will stand you in good stead throughout your entire life.
>
> So get started. Get started doing the math in your head, get started figuring these things out, and get started working out for yourself what does it mean to give your ghoul a bonus to their Dexterity, so that now instead of having an armor class of 12 they have an armor class of 14, or maybe even 15. You will start noticing significant differences there, as opposed to going from 12 to 13, which you probably won't notice.
>
> That's the video on dice math, folks. I hope you liked it, I hope it was useful for some of you. Please comment in the doobly-doo below, let me know what you think.
>
> Next video we're gonna talk about comics in general, and specifically a comic that I wrote. And because that is not a D&D related subject, I'm gonna make sure that when I upload this video I'm going to immediately, at the same time, upload another video that is D&D related and also sort of related tangentially to the subject of this comic. No spoilers.
>
> I want to encourage all new dungeon masters to come by adventurelookup.com, I'll put a link in the doobly-doo. And also I am still working on the stronghold rules Kickstarter — doing a lot of research, working on getting an LLC and tax ID and stuff like that, and that stuff all takes time. But if you want to be alerted when the stronghold Kickstarter goes live, there is a link in the doobly-doo, you follow it, you give us your email, and we promise we will only email you once, and it's to let you know when the stronghold Kickstarter goes live.
>
> Finally, as you know, I do not run ads in front of my videos. I'm an independent fantasy author. If you want to help support the channel, come by my Amazon page, there's a link to that in the doobly-doo. And there are lots of links to the doobly-doo — it seems like it grows all the time. Like me. Wait, what?
>
> Thanks for sticking around through the dice math video, folks. Until next time, peace out.

> [!quote]- Перевод (Русский)
> Всем привет, это Мэтт Колвилл. Мы только что сделали два ролика про нежить, так что давайте использовать нежить как рабочий пример в этом ролике.
> 
> Представим, что у меня группа персонажей первого уровня. Я хочу выпустить на них какую-нибудь нежить. Выбираю гулей, потому что считаю гулей интересным низкоуровневым злодеем и могу выпустить на игроков сразу нескольких. У гулей класс защиты 12. Насколько вероятно, что мои игроки по этим гулям попадут? Вот об этом мы и поговорим в этом ролике. Мы поговорим про математику Dungeons and Dragons.
> 
> И ролик будет короткий, потому что я хочу дать ровно столько сведений, сколько нужно, — не хочу перегружать совсем нового игрока. Для большинства из вас это будет совершенно очевидно, но если ты совсем новый игрок, если ты новый Мастер и смотришь на это, и математика тебя подавляет, — я эту проблему до конца не решу. То есть если у тебя фобия математики, тут я мало что могу сделать, мои силы ограничены. Но я хотя бы могу немного развеять туман вокруг математики и дать тебе чуть больше уверенности, чтобы тебе было спокойно вносить изменения на ходу.
> 
> Итак, насколько вероятно, что мои игроки попадут по этим гулям? Есть два способа это выяснить. Один — просто спросить игроков, какие у них бонусы к попаданию, и посчитать вручную, но это занудство и займёт много времени. Поэтому я просто посчитаю в голове. И я могу сказать в голове, ничего не записывая, что у моих игроков примерно семидесятипроцентный шанс попасть по одному из этих гулей.
> 
> Откуда я это знаю? Я знаю, что у них 70-процентный шанс попасть по одному из этих гулей, потому что знаю, как они генерировали свои характеристики. Они либо использовали метод «4d6, взять три лучших» и потом расставили результаты в нужном им порядке, либо взяли список чисел из «Книги игрока» и расставили в нужном им порядке. Но в любом случае я могу рассчитывать, что у них, скажем, 15 в самой высокой характеристике.
> 
> Иначе говоря, можно предположить, что воин атакует Силой, плут атакует Ловкостью, а волшебник, если он зачем-то будет делать бросок атаки, будет атаковать Интеллектом. И если предположить, что они выбрали математически выгодную расу, значит, они добавят +2 в эту характеристику, а значит, они пойдут от 15… Возьмём воина для примера. Воин положит свои 15 в свою главную характеристику, в Силу. Он выберет расу, которая даёт +2 к Силе. Это выведет его на 17. А 17 — это +3.
> 
> Ещё он владеет тем, что пытается сделать. Это ещё плюс 2. Это тот самый загадочный плюс 2 — откуда он берётся во всех этих математических выражениях? Он берётся оттуда, что ты делаешь то, что умеешь, и получаешь свой бонус владения, который начинается с +2. Со временем он растёт, но мы считаем, что это отряд первого уровня.
> 
> Три плюс два — пять. А значит, когда игроки бросают на попадание, они бросают двадцатигранную кость — и это важно, это тот движок, который приводит в действие всю математику этой игры, — они бросают двадцатигранную кость и прибавляют к ней пять, и им надо превзойти 12, потому что это класс защиты гуля. То есть им надо выбросить семь. Им надо выбросить семь, чтобы попасть по гулю. Семь или больше на двадцатигранной кости — это 70-процентный шанс попасть, что, кстати, довольно высоко.
> 
> Так что, как видишь, с самого начала я немного посчитал в голове и получил точный результат. Насколько вероятно, что игроки попадут по этим гулям? Вообще-то, очень вероятно.
> 
> Я уже использовал массу терминов и математики, о знании которых не хочу предполагать. Так что для многих это будет совершенно очевидно, и они уже сейчас закроют ролик, потому что почувствуют: «Ну, я всё это знаю». Отлично. Этот ролик не для тебя. Он для новых Мастеров, которые про математику не знают вообще ничего.
> 
> Итак, когда я говорю, что у моих игроков примерно 70-процентный шанс попасть по этому гулю, откуда я беру это число? Начинается всё с d20. У d20 двадцать граней, а значит, любая отдельная грань… Представим, ты выбрал конкретное число, семь. Каковы шансы выбросить ровно семь на двадцатигранной кости? 5 процентов. Как я получил это число? Давай разберём. Потому что «процент» значит «на сто». Если бы я бросил эту кость сто раз, было бы разумно поспорить, что кость выпадет ровно семёркой примерно пять раз.
> 
> Все любят выбрасывать крит, натуральную двадцатку, как мы это называем. Под «натуральной» мы имеем в виду «без модификаторов», верно? И это то, что случается за игрой постоянно: кто-то называет число, которое выбросил, когда тебе нужен его результат, а иногда кто-то называет результат, а ты думаешь, что он назвал выброшенное число. Вот поэтому мы и используем слово «натуральная». Вот это натуральная двадцатка.
> 
> Каковы шансы выбросить натуральную двадцатку? 5 процентов. Один к двадцати. То есть если я брошу кость сто раз, примерно пять раз я выброшу ровно двадцать. Мы, игроки, приписываем этому числу и этому числу много значения, но кость разницы между ними не знает. Формально разницы, с точки зрения кости, между тем, чтобы выбросить вот это, и тем, чтобы выбросить вот это, нет. С точки зрения кости они все одинаковы. Они все равновероятны, у каждого 5-процентный шанс выпасть.
> 
> Но математика в D&D строится на целевых числах. Если я скажу тебе, что у этого гуля класс защиты 12, а у тебя, скажем, плюс 5 к попаданию, и ты посчитаешь в голове и скажешь: «Мне надо выбросить 7, чтобы его превзойти», — формально это 7 или больше. Значит, у тебя есть весь этот разброс чисел, от 7 и до самой 20, который приведёт к попаданию. Так что мы считаем их все. Каждое из них — 5 процентов. То есть, если считать в голове, ты идёшь: 5, 10, 15, 20, 25… и доходишь до 70 процентов. Вот откуда я знаю, что у моих игроков примерно 70-процентный шанс попасть по этому гулю.
> 
> Представим, что я хочу сделать так, чтобы по этому гулю было труднее попадать. Я могу дать ему броню, например. Могу поднять ему Ловкость. Или могу просто сказать, что у него шкура толще обычной. Этими способами я могу вывести его класс защиты с 12 на любое число, какое захочу. А какое число мне нужно? Вот так я и думаю как Мастер. Я не просто думаю: «Так, я хочу, чтобы по этому гулю было труднее попасть, дам ему плюс один к классу защиты». Попадать станет труднее — формально это верно. Но насколько велико влияние этой разницы в единицу?
> 
> Давай поговорим об этом. Если ты следил, ты знаешь: если я поднимаю класс защиты гуля с 12 до 13, я сделал попадание на 5 процентов менее вероятным. Насколько велика эта разница в 5 процентов? Она невелика. Но, думаю, можно рассчитывать, что у отряда первого уровня в одном бою против твоего супергуля с КЗ 13 это проявится, может быть, один раз. Один человек, один бросок атаки за весь бой.
> 
> Как я к этому выводу пришёл? Ну, отдельный бой длится между пятью и шестью раундами, и если у тебя примерно четыре-пять игроков, то выходит примерно двадцать бросков атаки за бой. Очевидно, это число будет сильно колебаться от боя к бою и от группы к группе, тут масса допущений. Но если мы изменили класс защиты на единицу, если мы сделали попадание на 5 процентов труднее, а на этой кости двадцать пятипроцентных долей, то это значит, что кость надо бросить двадцать раз, чтобы нашёлся один случай, где я попал бы по гулю с КЗ 12, но промахнулся по гулю с КЗ 13.
> 
> Поскольку мы имеем дело с двадцатигранной костью, мы постоянно имеем дело с пятипроцентными долями, и это, я думаю, нам полезно, потому что считать пятёрками, умножать на пять относительно легко.
> 
> Если твои игроки сражаются всего с одним гулем, то двадцати возможностей атаковать эту тварь у них не будет, и поэтому не стоит ждать, что разница в один пункт класса защиты действительно проявится. Но как только у тебя в бою четыре-пять гулей, ты сделал так, что твои игроки, вероятно, будут атаковать примерно двадцать раз за эту стычку, и в этом процессе в среднем найдётся один бросок, который попал бы по гулю с КЗ 12, но промахивается по гулю с КЗ 13.
> 
> Так что я как Мастер, если хочу, чтобы мои гули были крепче, не буду давать им просто плюс один к КЗ, потому что не думаю, что это будет проявляться достаточно часто. Дать им плюс два к классу защиты, вывести его с 12 на 14 — и теперь, вместо того чтобы попадание было вероятно на 70 процентов, оно вероятно на 60. И вот теперь мы подбираемся к 50 процентам. 50 процентов — это попадать в половине случаев. Одна из каждых десяти атак, которая попала бы по моему гулю с КЗ 12, промахнётся по гулю с КЗ 14, и вот на этом уровне, я думаю, мы точно увидим это в течение одного отдельного боя.
> 
> Так что, если говорить о гулях: поднять их класс защиты с 12 до 13 — разницы, по сути, не будет. С 12 до 14 — вот тут разница начнёт проявляться.
> 
> Но всё это основано на классе защиты гуля. У гуля класс защиты всего 12. А что-нибудь другое? Например, вожак багбиров? У вожака багбиров класс защиты 17. Каковы шансы, что ты попадёшь по этому багбиру с КЗ 17?
> 
> Представим, что у тебя нет бонуса к попаданию. Представим, что у тебя Сила 10 и ты пользуешься оружием, которым не владеешь. Тебе надо бросить двадцатигранную кость и превзойти КЗ 17. Тут есть некоторая… это, по-моему, обманчиво. Есть склонность, когда только начинаешь играть, считать в голове неправильно, потому что мы естественно хотим вычесть 17 из 20, и остаётся 3. Три умножить на пять — 5 процентов за каждое число — это 15. То есть выходил бы 15-процентный шанс попасть по нашему багбиру.
> 
> Нет. Потому что мы выигрываем, если равны 17. Значит, надо считать и саму 17, когда мы считаем. То есть мы не вычитаем 17 из 20, мы начинаем с 17 и считаем: 17, 18, 19, 20. На самом деле это — 5, 10, 15, 20 — 20-процентный шанс попасть по нашему багбиру броском без модификаторов.
> 
> Твои игроки, скорее всего, не будут бросать без модификаторов. У них, скорее всего, будет плюс 5 к попаданию. Плюс 5 к попаданию — это плюс 25 процентов, а значит, теперь у них 45-процентный шанс попасть. Верно? Я даже не выяснял в голове, какое целевое число. Я просто взял те 20 процентов, которые нужны при броске без модификаторов, — 17, 18, 19, 20, это 5, 10, 15, 20 процентов, — и добавил их плюс 5 к попаданию на броске кости: 5, 10, 15, 20, 25. Двадцать пять и двадцать — это 45 процентов. У них 45-процентный шанс попасть.
> 
> 45-процентный шанс попасть меньше 50 процентов, а значит, они будут промахиваться большую часть времени. И вот что это значит. Я просто хочу помочь тебе это усвоить. Даже если кажется, что 45-процентный шанс попасть — всё ещё довольно сытно, довольно жирно и не так уж далеко от 60-процентного шанса, — 45-процентный шанс попасть действительно означает, что твои игроки будут промахиваться большую часть времени. 45-процентный шанс попасть означает 55-процентный шанс промахнуться, а 55 процентов — это больше половины.
> 
> Так что вот это стоит держать в голове, когда переводишь математику D&D в психологию игрока. Игроки не любят промахиваться. Лучше иметь много монстров, по которым легко попасть, чем нескольких, по которым попасть трудно, — потому что, хотя математика может выйти одинаковой, опыт твоих игроков будет очень разным.
> 
> В одном варианте, где много легко поражаемых монстров, игроки будут попадать всё время и почувствуют себя героями. В другом варианте, где несколько трудно поражаемых монстров, игроки будут промахиваться всё время. Это будет очень досадно, особенно если у тебя вокруг стола пять, шесть или семь игроков и игрокам приходится ждать между своими ходами, может, минут двадцать, — и они бросают одну двадцатигранную кость, и промахиваются, и всё, и весь их ход занял 30 секунд, и теперь они по-настоящему раздражены.
> 
> Так что вот это опасная зона. Опасная зона — это, я бы сказал, между 55-процентным шансом попасть и 45-процентным: ты в том пороге, где «теперь я буду промахиваться в половине случаев или чаще».
> 
> И тут есть психология. Взять твоего багбира с КЗ 17 и сказать: «Слушай, 45-процентный шанс попасть мне всё ещё кажется многовато, давай подкачаем его до класса защиты 18», — и теперь у меня только 40-процентный шанс попасть, и эта разница в 5 процентов между 45 и 40 сделает игроков ещё более раздражёнными. Математически это линейно, а психологически — нет.
> 
> Это то, что узнаёшь как геймдизайнер, особенно в видеоиграх, где твоя игра живая, люди могут на неё жаловаться и лучше бы тебе побыстрее выпустить патч: даже если твоя телеметрия говорит, что все эти персонажи одинаково полезны, а игроки заключают, что это не так, — тебе не выдадут по копии Мэтта Колвилла с каждой игрой, чтобы он сидел на диване рядом с игроком и объяснял, какой ты умный и какие они глупые, и что на самом деле все варианты равновероятны. Тебе приходится иметь дело с психологией игроков, а не со своей математикой.
> 
> Вот почему я гораздо менее склонен дать, например, нашему вожаку багбиров класс защиты 18 вместо его обычных 17, чем гулю. Гулю — потому что у него класс защиты 12 и игроки попадают по нему с вероятностью 70 процентов. Идти от 70 процентов к 65, к 60 — 60 процентов это всё ещё большая часть времени. А вот 55 процентов, 50 — тут мы уже входим в территорию, где игрок раздражается.
> 
> Надеюсь, это полезно новым игрокам, которые только начинают. Мы пытаемся выяснить: насколько вероятно, что мои игроки попадут, и какую разницу даст изменение класса защиты этого монстра?
> 
> Можно рассчитывать, что у твоих игроков плюс 5 к попаданию. У них может быть и больше, и со временем будет больше — по мере роста характеристик, по мере роста бонуса владения, по мере того как ты выдаёшь магические предметы. Но плюс 5 к попаданию против любого класса защиты — это расстояние от этого класса защиты до 20 **включительно**. То есть для гуля с классом защиты 12: идёшь 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 — это 9. Диапазон из 9. Девять умножить на пять — 45. Плюс те плюс 5, которые игроки получают к броску кости, то есть 25. Двадцать пять и сорок пять — вот как получается 70-процентный шанс попасть.
> 
> И я гарантирую, что кто-то смотрит это прямо сейчас и думает «да ну, очевидно». Но я гарантирую, что кто-то смотрит это прямо сейчас и думает «так, ты меня потерял». И это как раз то, где повторение снова и снова действительно приводит к пониманию, и ты начнёшь жить свою жизнь за ширмой пятипроцентными шагами. Как и со всем в жизни: когда садишься и начинаешь, будет непросто и потребует немного работы и раздумий. Но как только ты начинаешь думать в терминах расстояния на числовой прямой — а именно так нам всем и следует жить, — расстояние между классом защиты и 20, включая класс защиты, — это один процентный кусок, а потом мы прибавляем его к бонусу игроков к попаданию, и вот так мы узнаём шансы, что они действительно попадут.
> 
> Разумеется, другой способ — начать с класса защиты. Класс защиты 12, у них плюс пять к попаданию, значит, вычитаем пять и получаем семь. От семи до двадцати — 70-процентный шанс попасть. Так что есть пара разных способов освежевать эту кошку. Не знаю… пушистая кошка, зачем кому-то освежёвывать мою крошечную кошку? Нет, я люблю… всё. Ладно, круто.
> 
> Вот эти два способа посчитать, насколько вероятно, что твои игроки попадут. Начинаешь с их бонуса атаки, который на первом уровне можно считать равным плюс пяти, и дальше либо вычитаешь его из класса защиты монстра и измеряешь расстояние от результата до 20, умножаешь на пять, и это твой процент попадания, — либо просто складываешь проценты. И вот это я умею делать на ходу, потому что делал это миллион раз. То есть в начале этого процесса — некоторое понимание, а дальше много практики.
> 
> Так что значит дать игрокам магический предмет с плюс один? Ну, это значит, что они на 5 процентов вероятнее попадут. И совершенно неважно, какое целевое число: твой багбир с классом защиты 17 или твой гуль с классом защиты 12 — в обоих случаях одно и то же. И неважно, какого уровня твои игроки и какой у них бонус атаки. Может, у кого-то плюс 5 к попаданию, у кого-то плюс 7. В обоих случаях, дав игрокам длинный меч плюс один, ты делаешь так, что любой, кто им пользуется, на 5 процентов вероятнее попадёт. А это, опять же, будет проявляться не так часто: плюс 1 проявится, может, один раз за вечер.
> 
> Проблема в том, что у твоих игроков масса способов получить бонусы, и все они складываются. Вот одна из причин, почему игра не рекомендует давать игрокам оружие с плюс один примерно до пятого уровня.
> 
> Один из самых простых способов для моих игроков получить бонус к попаданию — и, кстати, вот это я, наверное, поменяю — это то, что я играю с опциональным правилом из «Руководства Мастера», по которому обход с фланга даёт преимущество. Я играю в очень непринуждённую игру, но, по-моему, преимущество за фланг — слишком большой бонус, поэтому я собираюсь заменить его на +2 к попаданию.
> 
> И давай поговорим, почему. Преимущество, как ты, вероятно, знаешь, означает, что ты бросаешь две двадцатигранные кости и берёшь ту, что выше, как свой бросок атаки. Но что это значит математически? Так вот, ты, возможно, удивишься, узнав, что математически бросок двух двадцатигранных костей с выбором лучшей вместо одной означает в среднем плюс 5 к попаданию.
> 
> Если предположить, что твои игроки атакуют той характеристикой, которая у них самая высокая, и что они владеют оружием, у них плюс 5 с самого начала. А потом ты даёшь им преимущество — это ещё плюс 5. Теперь у них, по сути, плюс десять к попаданию, а значит, они будут попадать по классу защиты двадцать в половине случаев. Это же безумие, верно?
> 
> По сути, я смотрю на это так: дать игрокам преимущество на броске атаки — значит гарантировать, что они попадут. И я это говорю, хотя в описании найдутся люди, которые скажут: «Ну, это не гарантия». И они правы, это не гарантия. Но я считаю это гарантией, потому что класс защиты не бывает всех сортов. Твои игроки не будут сражаться с существами с классом защиты три или классом защиты шесть. Они будут сражаться со злодеями, у которых класс защиты в основном между 13 и 17. И вот на этом отрезке, от 13 до 17, начиная с плюс 5 к попаданию и давая им преимущество, то есть ещё плюс 5, — это как плюс 10 к попаданию. Если класс защиты 15, а им нужно выбросить всего 5, они будут попадать в 75 процентах случаев.
> 
> При этом 80-процентный шанс попасть — это не то же самое, что стопроцентный шанс попасть. Это тот урок, который выучил каждый, кто следил за прогнозом 538, прогнозом Нейта Сильвера на прошлых выборах: сказать, что у этого кандидата 80-процентный шанс победить или даже 70-процентный шанс победить, — значит, что у него всё ещё 30-процентный шанс проиграть. А мы так не думаем. Мы так не думаем. Когда мы слышим, что у этого кандидата 70-процентный шанс победить, мы думаем: «А, дело в шляпе». Но для наших целей, как Мастеров, дать игрокам преимущество — значит гарантировать (звёздочка: не гарантия), что они попадут.
> 
> И есть в преимуществе ещё кое-что, что, как я обнаружил, меня немного напрягает. На кости вот это число ничем не отличается от этого или этого. Но в D&D вот это число полностью отличается от остальных. Потому что если этот пятипроцентный шанс — опять же, тот же самый пятипроцентный шанс, что и этот или этот, — если этот пятипроцентный шанс срабатывает, твои игроки бросают урон дважды. А если у них преимущество, шансы получить двадцатку удваиваются: вместо пяти процентов это 10-процентный шанс.
> 
> А теперь, если учесть, что преимущество они получают от обхода с фланга, а это значит, что есть два персонажа по противоположным сторонам от злодея, что не даёт злодею быть в двух местах одновременно и защищаться от обоих, — теперь у тебя вместо двух костей, каждая из которых пытается выбить 5-процентный шанс, четыре кости, каждая из которых пытается выбить 5-процентный шанс. Ты это удвоил. Теперь гораздо вероятнее, что твои игроки начнут получать критические попадания, как только начнут обходить с фланга, если ты даёшь им за фланг преимущество.
> 
> Вот почему, думаю, в моей следующей игре, по крайней мере на старте, мы начнём с того, что фланг даёт просто плюс два — как это работало, кажется, в третьей и четвёртой редакциях D&D. Плюс два — это просто плюс 10 процентов, и это значимая разница, достаточная, чтобы игроки искали и хотели влезать в опасные положения просто чтобы обойти с фланга. И это меня радует, это делает игру тактичнее, это делает стратегию важнее. Но это не такой подавляющий бонус, как +5 от преимущества.
> 
> Как вариант, можно сделать и другое — и я, может, попробую: сказать, что преимущество даёт тебе дополнительную d4 сверх твоей d20, потому что математически это выйдет примерно в десять процентов в среднем.
> 
> Так вот, думая об идее разрешить моим игрокам, если у них преимущество, просто прибавлять d4 к броску кости, я хочу знать: как это изменит математику? Я могу это выяснить, и такое в D&D случается часто: если я выясню, каков средний результат на любой конкретной кости. Каков средний результат на d4? Два с половиной. И, опять же, если ты не математический человек, может быть неочевидно, почему так, — давай разберём.
> 
> Использовать d4 в нашем примере удобно, потому что её легко изобразить в этом ролике. Мы можем поставить 1 вот здесь, поставить 4 вот здесь, а остальные числа между ними, и мы хотим узнать средний результат на d4. Так, а какое число в середине? И, опять же, в описании найдутся люди, которые заговорят про среднее, медиану и моду, и это нормально: если хочешь пойти почитать про это и разобраться глубже, я только за. Но просто для целей нового игрока, который про математику не знает ничего и просто хочет узнать средний результат на d10: ты ищешь число в середине.
> 
> А у всех костей чётное число граней, а значит, числа в середине нет. Если бы вместо d4 у нас была d5 — а такие делают, для игр, в которые я не играю, — то внезапно у нас появляется число в середине. Тройка в середине: у нас два числа слева от тройки и два справа. Так что можно уверенно сказать, что средний результат на пятигранной кости — 3.
> 
> Пятигранной кости у нас нет, у нас четырёхгранная, и числа в середине нет. Так что мы просто разделим числовую прямую пополам и поставим число здесь. Это число будет два с половиной.
> 
> Разумеется, я считаю, что через числовую прямую это понятнее. Но можно и просто сложить грани и разделить на число граней — так учат в школе. 4 плюс 3 плюс 2 плюс 1, складываем все грани, получаем 10, делим на число граней, то есть на 4. Десять разделить на четыре — два с половиной.
> 
> Итак, средний результат на d4 — два с половиной, что переводится в двенадцать с половиной процентов в среднем, если мы даём игрокам дополнительную d4 сверх d20 на попадание из-за преимущества от фланга. Что, на самом деле, просто пример, который я взял, чтобы поговорить о том, как считать средние на костях. Но тот же процесс работает и для d10. Каков средний результат на d10? Пять с половиной. Каков средний результат — а вот это важно — на d20? Десять с половиной. Это всегда половина значения: двадцать разделить на два — десять, плюс половина: десять с половиной.
> 
> Это нам важно потому, что, например, в D&D нам приходится делать спасброски от смерти, и целевое число для спасброска от смерти — 10. И каковы шансы, что мы превзойдём 10? Даже не считая проценты, ты знаешь, что, скорее всего, пройдёшь, потому что средний результат на двадцатигранной кости — десять с половиной, а число, которое ты пытаешься превзойти, — 10. То есть, даже не складывая все пятипроцентные доли, ты знаешь, что, скорее всего, — не с большим отрывом, но скорее всего, — пройдёшь свой спасбросок от смерти в любом отдельном раунде. Это чуть лучше 50 процентов. Если посчитать, выходит 55 процентов, потому что ты считаешь все числа от 10 до 20, включая десятку.
> 
> Интуитивно, если считать и складывать пятипроцентные доли, ты всегда придёшь к «ну, у меня 50-процентный шанс», потому что двадцать минус десять — десять, умножить на пять — пятьдесят. Но потом вернёшься и подумаешь: погоди, я же включаю число десять, потому что я всё ещё выигрываю, если выбросил десятку. Так что формально там 11 чисел, а одиннадцать умножить на пять — 55 процентов.
> 
> Опять же, я гарантирую… это может быть совершенно очевидно многим из вас, но было время, когда мне это очевидно не было, и игра в D&D помогла сделать это очевидным. Так что я гарантирую, что кого-то из смотрящих я уже потерял. Потерял давно. Но, может, ты посмотришь ролик больше одного раза. Уверен, есть и другие ролики на эту тему.
> 
> Но давай поговорим о том, что мы узнали, потому что мне кажется, что мы в этом ролике покрыли довольно много. Теперь мы знаем, как выяснить средний результат на любой конкретной кости. Мы поговорили о том, что математически даёт преимущество. Мы поговорили о том, что математически даёт игроку оружие с плюс один. Мы поговорили о том, как выяснить, насколько вероятно попадание, не выясняя на самом деле характеристики своих игроков. И насколько изменение класса защиты монстра меняет вероятность попадания — какая разница в плюс один, какая разница между 55-процентной и 45-процентной вероятностью. Так что, по-моему, мы прошли много.
> 
> Я не учитель математики, я понятия не имею, был ли этот урок полезен, и я надеюсь, что, если ты потерялся по дороге, ты напишешь в комментарии, и мы все постараемся тебя провести. Потому что игра в D&D — одна из тех вещей, которые делают тебя лучше в математике. Ты начинаешь понимать, что на самом деле значит иметь всего 15-процентный шанс во что-то попасть. Иногда это ощущается очень маловероятным, но потом ты обнаружишь, что оно случается, если бросать достаточно.
> 
> И тут есть применение в реальном мире. Ты обнаружишь, что, когда все вокруг ведут себя так, будто нечто с 70-процентной вероятностью успеха — верное дело, ты будешь сосредоточен на этих 30 процентах, и у тебя будет вполне реальное понимание. Люди не рождаются со встроенным пониманием шансов. Мы невероятно плохи в оценке шансов и рисков. Этим наше эволюционное наследие нас не наделило. Но если ты много играешь в D&D, ты выработаешь чувство на этот счёт, и оно будет тебе служить всю жизнь.
> 
> Так что начинай. Начинай считать в голове, начинай выяснять эти вещи и начинай сам разбираться, что значит дать своему гулю бонус к Ловкости, так что теперь вместо класса защиты 12 у него класс защиты 14, а может, и 15. Вот тут ты начнёшь замечать значимые различия — в отличие от перехода с 12 на 13, которого ты, вероятно, не заметишь.
> 
> Это был ролик про математику костей, ребята. Надеюсь, понравилось, надеюсь, кому-то было полезно. Пишите в комментариях ниже, что вы думаете.
> 
> В следующем ролике мы поговорим про комиксы в целом и конкретно про комикс, который я написал. А поскольку это не связано с D&D, я позабочусь о том, чтобы, выкладывая этот ролик, я тут же, одновременно, выложил другой ролик, который с D&D связан, а ещё связан по касательной с темой этого комикса. Без спойлеров.
> 
> Хочу призвать всех новых Мастеров заглянуть на adventurelookup.com, ссылку оставлю в описании. И ещё: я всё ещё работаю над Kickstarter про правила крепостей — много исследований, оформляю LLC, налоговый номер и всё такое, а это всё занимает время. Но если хочешь получить оповещение, когда Kickstarter про крепости стартует, в описании есть ссылка, переходи, оставляй нам почту, и мы обещаем написать тебе только один раз — сообщить, что Kickstarter про крепости пошёл.
> 
> И наконец, как ты знаешь, я не ставлю рекламу перед своими роликами. Я независимый фэнтези-автор. Если хочешь поддержать канал, заходи на мою страницу на Amazon, ссылка на неё в описании. И ссылок в описании становится всё больше — кажется, оно всё время растёт. Как и я. Погоди, что?
> 
> Спасибо, что дотерпел до конца ролика про математику костей, ребята. До следующего раза, всем мира.

## Рекап

Выпуск для тех, кого пугает математика D&D. Колвилл сразу очерчивает и цель, и границы:

> Если у тебя фобия математики, тут я мало что могу сделать, **мои силы ограничены.** Но я хотя бы могу немного развеять туман и дать тебе чуть больше уверенности, **чтобы тебе было спокойно вносить изменения на ходу.**

И честно про адресата: **«Этот ролик не для тебя. Он для новых Мастеров, которые про математику не знают вообще ничего».** Выпуск продолжает нежить из [48. Снова нежить!](/kak-vodit-igru-matthew-colville/48.-snova-nezhit) — оттуда взяты гули как рабочий пример. А обоснование, зачем этот ролик вообще нужен, Колвилл давал раньше: понимать шансы полезнее, чем систему УО (см. [45. Уровень опасности](/kak-vodit-igru-matthew-colville/45.-uroven-opasnosti) и [48. Снова нежить!](/kak-vodit-igru-matthew-colville/48.-snova-nezhit)).

### Базовый факт, из которого всё выводится

**На d20 каждая грань — это 5 процентов.** Двадцать граней, сто процентов, значит, по пять на каждую.

**Почему именно 5.** Колвилл разбирает даже это, потому что ролик для тех, кто «не знает вообще ничего»: «процент» значит «на сто». Брось кость сто раз — семёрка выпадет примерно пять раз.

Отсюда вся арифметика: **считать пятёрками легко.**

Колвилл добивает это наблюдением, которое стоит запомнить: **кость не знает разницы между двадцаткой и семёркой.** Все грани равновероятны, у каждой 5 процентов. Значение двадцатке приписывают игроки, а не кость.

**Попутно про слово «натуральная».** Натуральная двадцатка — это без модификаторов. Термин нужен не для красоты, а от постоянной путаницы за столом: один называет выброшенное число, другой — итоговый результат, и не разобрать, о чём речь.

### Как Колвилл считает шанс попадания в голове

Вот рабочая цепочка целиком, на его же примере с гулями (КЗ 12) против отряда первого уровня.

**Почему можно не спрашивать игроков.** Спросить каждого про бонус — «занудство и займёт много времени». Вместо этого он опирается на то, как персонажи создавались:

1. Характеристики генерировали либо **«4d6, взять три лучших»**, либо стандартным набором из «Книги игрока».
2. Значит, в главной характеристике у персонажа **примерно 15**. Откуда 15: стандартный набор в «Книге игрока» — это 15, 14, 13, 12, 10, 8, и старшее значение там ровно 15. Метод «4d6, три лучших» в среднем даёт примерно столько же.
3. Атакуют главной характеристикой: воин Силой, плут Ловкостью.
4. Если раса выбрана «математически выгодно», это **+2** к той же характеристике → **17**. Расы в D&D дают прибавки к характеристикам, и у большинства есть **+2** к одной; выгодный выбор — тот, где эти +2 падают в атакующую характеристику (полуорк или дварф воину, эльф плуту).
5. Значение 17 даёт модификатор **+3**.
6. Плюс **бонус владения +2** — «тот самый загадочный плюс 2», который берётся из того, что персонаж делает то, что умеет.
7. Итого **+5 к попаданию** на первом уровне.

**Правило, которое можно унести и применять сразу:**

> **На первом уровне считай, что у игроков +5 к попаданию.**

**Два способа досчитать до процента.** Оба дают одно и то же, выбирай по вкусу:

| Способ | Как | Пример: КЗ 12, +5 |
|---|---|---|
| **Через расстояние до 20** | Посчитай, сколько чисел от КЗ до 20 **включая КЗ**, умножь на 5, прибавь бонус × 5 | 12…20 — это 9 чисел; 9 × 5 = 45; плюс 5 × 5 = 25; **45 + 25 = 70%** |
| **Через целевое число** | Вычти бонус из КЗ, получишь нужный бросок; посчитай от него до 20 | 12 − 5 = 7; от 7 до 20 — это **70%** |

| **Складывая проценты** | Посчитай процент для броска без модификаторов, прибавь бонус × 5. Целевое число искать вообще не надо | КЗ 17: 17, 18, 19, 20 → 20%; плюс 5 × 5 = 25%; **20 + 25 = 45%** |

Ответ для гуля: **70 процентов**, и Колвилл называет это «довольно высоко».

**Почему проценты тут складываются, хотя обычно так нельзя.** Каждый пункт бонуса просто сдвигает нужный бросок на один шаг вниз, а один шаг на d20 — это ровно 5 процентов. Поэтому «+5 к попаданию» и «+25 процентов» — одно и то же. Оговорка: способ работает, пока сумма не подошла к 95 процентам, — натуральная единица промахивается всегда.

Про третий способ Колвилл говорит с гордостью, и это его любимый ход: **«Я даже не выяснял в голове, какое целевое число».**

**Главная ловушка счёта, на которую он тратит отдельный кусок.** Естественное желание — вычесть класс защиты из 20. Против КЗ 17 это даёт 3, то есть 15 процентов. **Неверно.**

> Мы выигрываем, **если равны** классу защиты. Значит, само это число надо считать.

Правильно: 17, 18, 19, 20 — четыре числа, **20 процентов**. Разница с ошибочным счётом — целых 5 процентов, то есть один шаг из двадцати.

### Насколько на самом деле меняет дело +1 к классу защиты

Тут выпуск переходит от арифметики к решениям Мастера, и это его сильнейшая часть.

**Три способа поднять монстру класс защиты**, которые Колвилл называет перед тем, как считать: надеть на него **броню**, поднять **Ловкость** или просто объявить, что **шкура у него толще обычной**. Любым можно вывести КЗ с 12 на любое нужное число — вопрос только в том, какое число нужно.

**+1 к классу защиты = −5 процентов к попаданию.** Формально верно. Но Колвилл ставит другой вопрос: **насколько велико влияние этой единицы?**

Его расчёт числа бросков за бой:

| Величина | Значение |
|---|---|
| Длина боя | **5–6 раундов** |
| Игроков | **4–5** |
| Итого бросков атаки за бой | **примерно 20** |

Он честно оговаривается: **число будет сильно колебаться** от боя к бою и от группы к группе, «тут масса допущений».

**Вывод из совпадения чисел, и он изящный.** На кости двадцать пятипроцентных долей, а за бой примерно двадцать бросков. Значит:

> Разница в **один пункт** класса защиты проявится **примерно один раз за бой** — один человек, один бросок.

Отсюда практические указания:

- **Один гуль в бою** → двадцати атак не будет, и разницу в 1 пункт **вообще не увидишь.**
- **Четыре-пять гулей** → двадцать атак наберётся, и в среднем найдётся **один бросок**, который попал бы по КЗ 12 и промахивается по КЗ 13.

**Личное решение Колвилла:** если он хочет сделать гулей крепче, он **не даёт +1.** И это не противоречит расчёту выше: один случай за весь бой — это и есть «слишком редко, чтобы игроки заметили». Он даёт **+2**: с 12 на 14, то есть с 70 процентов на 60, и тогда мимо проходит уже **одна атака из десяти** — два случая за тот же бой.

Его собственная формулировка мягче, чем «порог»: с 12 на 14 — это **«теперь мы подбираемся к 50 процентам»**, то есть к попаданию в половине случаев, и вот тут разница начнёт проявляться.

### Опасная зона: 55–45 процентов

Второй большой вывод выпуска, и он не про математику, а про психологию.

**Пример на другом монстре.** Вожак багбиров, КЗ 17. Против него у отряда с +5 к попаданию — **45 процентов.**

И вот перевод этой цифры на человеческий:

> 45 процентов попасть — это **55 процентов промахнуться.** А 55 процентов — это больше половины. Значит, **игроки будут промахиваться большую часть времени.**

Колвилл специально проговаривает, что интуиция тут врёт: 45 процентов «кажется довольно сытно» и «не так уж далеко» от 60. Не близко.

**Опасная зона — от 55 до 45 процентов.** Это порог, за которым игрок начинает промахиваться в половине случаев и чаще.

**Не путай эти два числа — это разные шкалы.** 60 процентов из предыдущего раздела — про то, **заметит ли Мастер**, что изменение вообще сработало. 55–45 процентов — про то, **начнёт ли игрок злиться**. Совпадает только то, что 60 — последнее комфортное значение перед опасной зоной.

**Прямое указание по сборке боя, которое из этого следует:**

> **Лучше много монстров, по которым легко попасть, чем несколько, по которым трудно.** Математика может выйти одинаковой, а опыт игроков — совсем разный.

| Много слабых | Несколько крепких |
|---|---|
| Попадают всё время | Промахиваются всё время |
| Чувствуют себя героями | Раздражаются |

**Разыгранная сцена, которой он это подкрепляет.** Стол на пять-семь игроков. Игрок **ждёт своего хода до двадцати минут**, бросает одну кость, промахивается — и всё, **его ход занял 30 секунд.** Вот это и есть цена лишнего пункта класса защиты.

**И принцип, который он выносит из геймдизайна:**

> Математически это линейно, а **психологически — нет.**

Довод из видеоигр: даже если телеметрия показывает, что все варианты одинаково полезны, а игроки считают иначе, — **прав игрок**. Формулировка Колвилла:

> Тебе не выдадут по копии Мэтта Колвилла с каждой игрой, чтобы он сидел на диване рядом с игроком и объяснял, какой ты умный и какие они глупые. **Тебе приходится иметь дело с психологией игроков, а не со своей математикой.**

**Отсюда его правило, куда можно добавлять броню, а куда нельзя:**

- **гулю** (КЗ 12, попадают в 70%) — можно: 70 → 65 → 60 всё ещё «большая часть времени»;
- **вожаку багбиров** (КЗ 17, попадают в 45%) — нельзя: 45 → 40 уже за порогом, и «эта разница в 5 процентов сделает игроков ещё более раздражёнными».

То есть **одно и то же изменение стоит разного** в зависимости от того, где ты на шкале.

### Что даёт +1 к оружию

Короткий, но полезный вывод: **+1 = +5 процентов к попаданию, и это не зависит ни от чего.** Ни от класса защиты цели (КЗ 12 или 17 — одинаково), ни от уровня персонажа, ни от его бонуса атаки.

Как часто это заметно: **примерно один раз за вечер.**

И его вывод про сам навык счёта: **«в начале этого процесса — некоторое понимание, а дальше много практики».** Сам он считает на ходу потому, что делал это «миллион раз».

**Но вот оговорка, которую легко потерять:** у игроков **масса способов получить бонусы, и все они складываются.** Именно поэтому, говорит Колвилл, игра не рекомендует давать оружие с +1 **примерно до пятого уровня** (он говорит «about fifth level», без точной границы). Где именно это написано, он не уточняет; в пятой редакции ориентиры по выдаче магии лежат в «Руководстве Мастера».

### Преимущество: почему Колвилл считает его перебором

Здесь он меняет собственный хоумрул прямо в ролике, и разбор стоит целиком.

**Что он делал раньше:** играл с опциональным правилом из «Руководства Мастера», по которому **обход с фланга даёт преимущество.**

**Три оговорки, без которых это выглядит решённым делом, а оно не решено.** Колвилл говорит, что играет **«в очень непринуждённую игру»** — и всё равно считает преимущество за фланг перебором. Про замену: **«наверное, поменяю»**, и ставить +2 он собирается **в следующей игре, по крайней мере на старте.**

**Что математически значит преимущество:** бросаешь две d20, берёшь лучшую. В среднем это **плюс 5 к попаданию.**

**И вот арифметика, которая его напугала:**

| Слой | Бонус |
|---|---|
| Главная характеристика + владение | **+5** |
| Преимущество за фланг | **+5** |
| **Итого** | **+10** |

С +10 персонаж попадает по **классу защиты 20 в половине случаев.** Колвилл называет это безумием. (По его же методу там выходит 55 процентов, а не 50, — он округляет на слух.)

**Почему он считает преимущество гарантией попадания.** Его довод не в математике, а в диапазоне: **класс защиты не бывает всех сортов.** Игроки не встречают КЗ 3 или КЗ 6, они сражаются с врагами, у которых КЗ **в основном между 13 и 17.**

Дальше он берёт середину этого отрезка — **КЗ 15**: с +10 нужно выбросить всего 5, и это **75 процентов** случаев. И тут же сам себе говорит:

> **80-процентный шанс попасть — это не стопроцентный шанс попасть.**

**Вторая нестыковка в числах, того же рода, что с d4.** Про один и тот же пример он говорит сначала 75 процентов, а абзацем позже — 80, и не сводит их. По его же методу для КЗ 15 при +10 выходит 80 процентов: проходят броски от 5 до 20, это 16 значений из 20.

**И он сам себя ловит на неточности.** Дословно: дать преимущество — значит гарантировать, **«звёздочка: не гарантия»**, что они попадут. Люди в комментариях правы, что это не гарантия, но он всё равно так к этому относится.

Аналогию он берёт не из игр: **прогноз 538 Нейта Сильвера на прошлых выборах.** 80 или даже 70 процентов на победу значит, что **30 процентов на проигрыш остаются.** Но мы так не думаем — мы думаем «дело в шляпе». Ровно та же ошибка и за игровым столом.

**Вторая, менее очевидная претензия к преимуществу — криты.** И вот тут расчёт неожиданный:

1. С преимуществом шанс получить двадцатку **удваивается**: вместо 5 процентов — **10.**
2. А фланг требует **двух персонажей** по разные стороны от врага.
3. Значит, эти двое бросают уже **четыре кости**, каждая со своим 5-процентным шансом на двадцатку.

Вывод: **как только отряд начинает обходить с фланга, критов становится заметно больше.** А крит — это двойной урон.

**Замена, к которой он переходит:** фланг даёт **просто +2 к попаданию** — как, по его словам, работало в третьей и четвёртой редакциях.

Почему именно +2: это, по его словам, **«просто плюс 10 процентов»** — достаточно, чтобы игроки **искали и хотели влезать в опасные положения** ради фланга, но не подавляюще. Его оценка: это делает игру тактичнее и стратегию важнее, но не даёт подавляющего бонуса.

**Третий вариант, который он рассматривает вслух:** преимущество даёт **дополнительную d4** сверх d20.

**Тут у Колвилла нестыковка в числах, и её стоит заметить.** Сначала он говорит, что d4 «выйдет примерно в **десять процентов** в среднем». Позже сам же считает: среднее на d4 — **2,5**, а это **12,5 процента.** Оба числа в ролике есть, и он их не сводит. За столом это неважно (разница в полшага кости), но если берёшь этот вариант, считай от 12,5.

### Как считать среднее на любой кости

Ради этого и был пример с d4. Правило простое:

> **Среднее на кости — половина числа граней плюс половина.**

| Кость | Среднее |
|---|---|
| d4 | 2,5 |
| d10 | 5,5 |
| d20 | **10,5** |

**Два способа это понять**, и Колвилл даёт оба:

1. **Через числовую прямую** (он считает этот способ понятнее). У всех костей **чётное число граней**, поэтому числа ровно в середине нет. Если бы существовала d5, середина была бы: тройка, по два числа слева и справа. У d4 середины нет — делим прямую пополам и ставим 2,5.
2. **Школьный способ:** сложить все грани и разделить на их число. 4 + 3 + 2 + 1 = 10, делим на 4 → 2,5.

Он же честно отсылает тех, кому нужно строже: **в комментариях будут говорить про среднее, медиану и моду**, и это нормально, читайте.

### Зачем нужно среднее на d20

Вот прикладной пример, ради которого правило и запоминают.

**Спасбросок от смерти. Целевое число — 10**, то есть надо **набрать 10 или больше** — сама десятка уже успех.

Не считая ничего: среднее на d20 — **10,5**, а нужно 10. Значит, ты **скорее пройдёшь, чем нет** — «не с большим отрывом, но скорее всего».

**Точная цифра — 55 процентов**, и Колвилл разбирает, почему интуиция даёт 50:

> Считаешь: двадцать минус десять — десять, умножить на пять — пятьдесят. А потом вспоминаешь, что **десятку тоже надо включить**, потому что на десятке ты уже выигрываешь. Значит, чисел одиннадцать, а 11 × 5 = **55 процентов.**

Это та же ловушка «считай границу», что и в примере с багбиром. Она в выпуске всплывает дважды — видимо, потому что цена ошибки как раз один шаг кости.

### Итог: чему это учит за пределами стола

Колвилл честно оценивает себя: **«Я не учитель математики, я понятия не имею, был ли этот урок полезен»**, и просит писать в комментарии, если кто-то потерялся — «мы все постараемся тебя провести».

Но ставку он делает большую, и она не про D&D:

> Люди **не рождаются со встроенным пониманием шансов.** Мы невероятно плохи в оценке шансов и рисков. Этим наше эволюционное наследие нас не наделило.

Что даёт игра: **ты начинаешь понимать, что 15 процентов — это мало, но это случается**, если бросать достаточно. И обратное: когда все вокруг считают 70 процентов верным делом, **ты будешь смотреть на оставшиеся 30.**

Домашнее задание, которым он заканчивает: **сам посчитай, что изменится, если поднять гулю Ловкость и вывести его класс защиты с 12 на 14 или 15.** Там разница заметна — в отличие от перехода с 12 на 13.

## Отсылки и ссылки

- **d20, d4, d10** — кости с указанным числом граней. d20 — основная кость D&D: ею проверяют попадания, спасброски и навыки.
- **Класс защиты (КЗ, AC)** — число, которое нужно набрать на d20 с модификаторами, чтобы попасть по существу.
- **Бонус владения (proficiency bonus)** — прибавка за то, что персонаж умеет делать это дело. На 1-м уровне +2, растёт с уровнем. Это и есть «загадочный плюс 2».
- **Модификатор характеристики** — прибавка от значения характеристики. 15 даёт +2, 17 даёт +3.
- **«4d6, взять три лучших»** — способ генерации характеристик: бросаешь четыре шестигранные кости, отбрасываешь худшую. Альтернатива — стандартный набор чисел из «Книги игрока».
- **Натуральная двадцатка (natural 20)** — выпавшая на кости двадцатка до модификаторов. Даёт критическое попадание: кости урона бросаются дважды.
- **Преимущество (advantage)** — бросаешь две d20 и берёшь лучшую. В среднем это примерно +5 к результату, и на этом Колвилл строит всю претензию к правилу фланга.
- **Обход с фланга (flanking)** — опциональное правило из «Руководства Мастера»: два союзника по разные стороны от врага получают преимущество на атаки. Колвилл заменяет его на +2.
- **Спасбросок от смерти (death saving throw)** — бросок d20 против **10** каждый ход, пока персонаж на нуле хитов. Три успеха стабилизируют, три провала убивают. Подробнее — в [44. Сдаться](/kak-vodit-igru-matthew-colville/44.-sdatsya), где такой бросок дважды переломил бой.
- **Гуль** — телесная нежить с КЗ 12, рабочий пример этого выпуска. Разбор — [48. Снова нежить!](/kak-vodit-igru-matthew-colville/48.-snova-nezhit).
- **Багбир и вожак багбиров** — крупные гоблиноиды. У вожака КЗ 17 — второй рабочий пример.
- **Система УО** — уровень опасности монстра. В этом выпуске Колвилл её не обсуждает; тезис «понимать шансы полезнее, чем систему УО» он произносит в [48. Снова нежить!](/kak-vodit-igru-matthew-colville/48.-snova-nezhit), а полный разбор своей позиции даёт в [45. Уровень опасности](/kak-vodit-igru-matthew-colville/45.-uroven-opasnosti).
- **538 и Нейт Сильвер** — американский сайт статистических прогнозов и его основатель. Колвилл говорит «прошлые выборы», не называя года; ролик снят в 2018-м, так что речь про президентские выборы 2016 года. Их прогноз давал большинству наблюдателей ощущение предопределённости, хотя означал лишь высокую вероятность. Колвилл берёт это как пример того, как люди читают проценты.
- **Adventure Lookup** — каталог приключений, сделанный сообществом канала. [adventurelookup.com](https://adventurelookup.com/)
- **Strongholds & Followers** — книга Колвилла, к моменту этого выпуска он оформляет LLC и налоговый номер под Kickstarter.
- **Комикс Critical Role** — про него Колвилл обещает отдельный короткий ролик и заранее говорит, что выложит одновременно второй, связанный с D&D. Именно этот второй — [50. Векна и как водить эпических злодеев](/kak-vodit-igru-matthew-colville/50.-vekna-i-kak-vodit-epicheskih-zlodeev), и «связь по касательной с темой комикса» становится понятна из его названия.
- **Примечание переводчика.** «Есть пара разных способов освежевать эту кошку» — калька английской поговорки *there's more than one way to skin a cat*, «есть много способов сделать одно и то же». Колвилл тут же сам сбивается и начинает отшучиваться про кошку; в переводе оговорка сохранена.
- **Примечание переводчика.** «doobly-doo» — жаргонное название поля описания под роликом на YouTube; в переводе везде «в описании» или «в комментариях», по смыслу фразы.